拉普拉斯方程到球谐函数

创建时间：2021/6/1 14:55

Del算符与梯度、散度、旋度

Del算符 - 梯度、散度和旋度（Gradient, Divergence & Curl）是将Del算符应用于不同函数。

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此 梯度的方向 ）变化最快，变化率最大（为该 梯度的模 ）。

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散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

在大气科学中散度指衡量速度场辐散、辐合强度的物理量。。三维空间的散度表示任意气块在单位时间内其单位体积的变化率。气块的体积膨胀称为辐散，气块体积收缩称为辐合。

div F 表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量 F 的通量，所以 div F 描述了通量源的密度。

散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。

Laplacian算符 - 梯度的散度 Div(Grad(f))

或者

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左侧谷底的梯度指向四周高的方向(向四周散开)，故梯度的散度为正，Laplacian>0；也可以理解为：谷底周围所有点都高于谷底，故高度差的均值(Laplacian)>0。
右侧谷峰的梯度指向中央的山峰(向山峰中央汇聚)，故梯度的散度为负，Laplacian<0；也可以理解为：山峰周围所有点都低于山峰，故高度差的均值(Laplacian)<0。
在山峰和谷底之间山坡的中点上，周围有的点高度比它高，有的比它低，所以故高度差的均值(Laplacian)=0。

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拉普拉斯方程（Laplace’s equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程

https://zhuanlan.zhihu.com/p/350388376 Laplacian等于0的函数被称为Harmonic，这种函数描述的场景是： 每个点的函数值等于它周围点的平均函数值 。

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拉普拉斯方程是关于不随时间变化的均衡状态(Equilibrium)的。在给定边界条件(Boundary Conditions)的情况下，在xy平面（或更高维）寻找x和y二阶导数方程等于0的解。

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球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系: x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ