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title: "拉普拉斯方程到球谐函数"
author: "Perrin Yong"
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published_by: "Perrin Yong"
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# 拉普拉斯方程到球谐函数
> 创建时间：2021/6/1 14:55

## 拉普拉斯方程到球谐函数

  * 拉普拉斯方程到球谐函数
    * Del算符与梯度、散度、旋度
      * 梯度
      * 散度
      * 拉普拉斯算符（Laplacian）
    * 拉普拉斯方程
    * 球谐函数
      * 球坐标系
    * Ref

## Del算符与梯度、散度、旋度

Del算符 - 梯度、散度和旋度（Gradient, Divergence & Curl）是将Del算符应用于不同函数。

详见：<https://zhuanlan.zhihu.com/p/349328782>

### 梯度

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此 **梯度的方向** ）变化最快，变化率最大（为该 **梯度的模** ）。

![Alt text](/media/d2da5106f898497b2c0e.png)

![Alt text](/media/c2773cd8a2dfef61cc9b.png)

![Alt text](/media/e35da7ebab176dc8fc94.png)

### 散度

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

在大气科学中散度指衡量速度场辐散、辐合强度的物理量。。三维空间的散度表示任意气块在单位时间内其单位体积的变化率。气块的体积膨胀称为辐散，气块体积收缩称为辐合。

![Alt text](/media/53e3efe1d3e95aba6038.png)

div F 表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量 F 的通量，所以 div F 描述了通量源的密度。

散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。

### 拉普拉斯算符（Laplacian）

Laplacian算符 - 梯度的散度 Div(Grad(f))

![Alt text](/media/309e18b2ebcd9c972b84.png)

或者

![Alt text](/media/ebbdb7db8cafb51136a5.png)

  * 告诉我们 **梯度（导数/斜率）的变化程度** ，可类比于单变量函数的二阶导数。

  * 告诉我们 **一个点的函数值与周围环境其他点差异的均值** 。

![Alt text](/media/585a316957fbd8b1368f.png)

  * 左侧谷底的梯度指向四周高的方向(向四周散开)，故梯度的散度为正，Laplacian>0；也可以理解为：谷底周围所有点都高于谷底，故高度差的均值(Laplacian)>0。

  * 右侧谷峰的梯度指向中央的山峰(向山峰中央汇聚)，故梯度的散度为负，Laplacian<0；也可以理解为：山峰周围所有点都低于山峰，故高度差的均值(Laplacian)<0。

  * 在山峰和谷底之间山坡的中点上，周围有的点高度比它高，有的比它低，所以故高度差的均值(Laplacian)=0。

![Alt text](/media/66e79c5cca067a0c11eb.png)

## 拉普拉斯方程

拉普拉斯方程（Laplace’s equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程

![Alt text](/media/598f21e12f0701ecb0ab.png)

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/350388376>
Laplacian等于0的函数被称为Harmonic，这种函数描述的场景是： **每个点的函数值等于它周围点的平均函数值** 。

![Alt text](/media/aec41ca56171bab17b72.png)

拉普拉斯方程是关于不随时间变化的均衡状态(Equilibrium)的。在给定边界条件(Boundary Conditions)的情况下，在xy平面（或更高维）寻找x和y二阶导数方程等于0的解。

## 球谐函数

### 球坐标系

![Alt text](/media/e87bf6a230cd3bf45d92.png)

球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ

## Ref

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/349328782>
<https://baike.baidu.com/item/%E6%A2%AF%E5%BA%A6/13014729>
<https://baike.baidu.com/item/%E7%90%83%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB>