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title: "Possion重建有关的一些概念"
author: "Perrin Yong"
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published_by: "Perrin Yong"
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# Possion重建有关的一些概念

> 创建时间：2020/5/23 8:28

## 泛函

简单的说， 泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。
设{y}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。
泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数， y(x) 称为泛函П的变量函数。
泛函П(y(x))与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数
泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为宗量。
简言之，泛函就是函数的函数。 [2]

## 梯度

![Alt text](/media/4f91c27a931d1ad4fc89.png)

## 二范数

除了矩阵之外，向量和函数均有范数，其中：
矩阵范数：矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号；
向量范数：向量x的2范数是x中各个元素平方之和再开根号；
函数范数：函数f(x)的2范数是x在区间（a,b）上f(x)的平方的积分再开根号。

## 散度

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

![Alt text](/media/90553a4a27e4cbc3cb62.png)

## 拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

![Alt text](/media/e7a7f6fddc643e79eef3.png)

## 泊松方程

![Alt text](/media/55e38ffca3bbeca3a67a.png)

## Possion重建

![Alt text](/media/4f91c27a931d1ad4fc89.png)

指示函数(indicator function )
重建的关键在于是找到一个指示函数。若一个元素属于这个集合则为1，否则为0。所以才有了论文中定义的在表面外为1，在表面内为0.如果这个时候我们对整个空间有效的指示函数进行梯度计算，我们会发现只有在接近物体表面的附近才有会有梯度向量，其余位置均为0向量。此时所得到的表面附近梯度就正好等于了论文中所阐述的inner surface normal，也就是朝向表面内的法向量

输入数据为采样点的位置信息，还有采样点的法向量。

通过求解这个指示函数找到函数值相同点，并提取出一个等值面，进而实现了重建。

![Alt text](/media/1c84907a081accdb41d3.png)

指示函数的梯度等于结合表面法线场计算得到的向量场。这也是高斯散度理论。

![Alt text](/media/007c211c9dae5a397717.png)

指示函数不知道，梯度不知道。

只能计算出向量场。所以应用散度算子这一媒介。转化成了一个泊松方程。

![Alt text](/media/ec9bca7d7a91cf963d64.png)

正三角，就是梯度的散度(也是拉普拉斯算子)
也就是

![Alt text](/media/4b75f53e4f4bb610bf64.png)

梯度的散度等于向量场的散度

![Alt text](/media/62d8e0933f714eca7f32.png)

解这个泊松方程就能找到指示函数。方程的解采用拉普拉斯矩阵迭代求出 。

而后利用指示函数来找到等值面然后通过marching cube方法提取出等值面